1. Mô tả

Xét một trò chơi trong đó hai người thay phiên nhau đi nước của mình như cờ vua, cờ tướng, carô… Trò chơi có một trạng thái bắt đầu và mỗi nước đi sẽ biến đổi trạng thái hiện hành thành một trạng thái mới. Trò chơi sẽ kết thúc theo một quy định nào đó, theo đó thì cuộc chơi sẽ dẫn đến một trạng thái phản ánh có một người thắng cuộc hoặc một trạng thái mà cả hai đấu thủ không thể phát triển được nước đi của mình, ta gọi nó là trạng thái hòa cờ. Ta tìm cách phân tích xem từ một trạng thái nào đó sẽ dẫn đến đấu thủ nào sẽ thắng với điều kiện cả hai đấu thủ đều có trình độ như nhau.

Một trò chơi như vậy có thể được biểu diễn bởi một cây, gọi là cây trò chơi. Mỗi một nút của cây biểu diễn cho một trạng thái. Nút gốc biểu diễn cho trạng thái bắt đầu của cuộc chơi. Mỗi nút lá biểu diễn cho một trạng thái kết thúc của trò chơi (trạng thái thắng thua hoặc hòa). Nếu trạng thái x được biểu diễn bởi nút n thì các con của n biểu diễn cho tất cả các trạng thái kết quả của các nước đi có thể xuất phát từ trạng thái x.

2. Ví dụ

Xét trò chơi carô có 9 ô. Hai người thay phiên nhau đi X hoặc O. Người nào đi được 3 ô thẳng hàng (ngang, dọc, chéo) thì thắng cuộc. Nếu đã hết ô đi mà chưa phân thắng bại thì hai đấu thủ hòa nhau. Một phần của trò chơi này được biểu diễn bởi cây sau:

3. Định trị cây trò chơi: giải thuật vét cạn

Trong cây trò chơi trên, các nút lá được tô nền và viền khung đôi để dễ phân biệt với các nút khác. Ta gắn cho mỗi nút một chữ cái (A, B, C…) để tiện trong việc trình bày các giải thuật.

Ta có thể gán cho mỗi nút lá một giá trị để phản ánh trạng thái thắng thua hay hòa của các đấu thủ. Chẳng hạn ta gán cho nút lá các giá trị như sau:

  • 1 nếu tại đó người đi X đã thắng,
  • -1 nếu tại đó người đi X đã thua và
  • 0 nếu hai đấu thủ đã hòa nhau.

Như vậy từ một trạng thái bất kỳ, đến lượt mình, người đi X sẽ chọn cho mình một nước đi sao cho dẫn đến trạng thái có giá trị lớn nhất (trong trường hợp này là 1). Ta nói X chọn nước đi MAX, nút mà từ đó X chọn nước đi của mình được gọi là nút MAX. Người đi O đến lượt mình sẽ chọn một nước đi sao cho dẫn đến trạng thái có giá trị nhỏ nhất (trong trường hợp này là -1, khi đó X sẽ thua và do đó O sẽ thắng). Ta nói O chọn nước đi MIN, nút mà từ đó O chọn nước đi của mình được gọi là nút MIN. Do hai đấu thủ luân phiên nhau đi nước của mình nên các mức trên cây trò chơi cũng luân phiên nhau là MAX và MIN. Cây trò chơi vì thế còn có tên là cây MIN-MAX. Ta có thể đưa ra một quy tắc định trị cho các nút trên cây để phản ánh tình trạng thắng thua hay hòa và khả năng thắng cuộc của hai đấu thủ.

Nếu một nút là nút lá thì trị của nó là giá trị đã được gán cho nút đó. Ngược lại, nếu nút là nút MAX thì trị của nó bằng giá trị lớn nhất của tất cả các trị của các con của nó. Nếu nút là nút MIN thì trị của nó là giá trị nhỏ nhất của tất cả các trị của các con của nó.

Quy tắc định trị này cũng gần giống với quy tắc định trị cho cây biểu thức số học, điểm khác biệt ở đây là các toán tử là các hàm lấy max hoặc min và mỗi nút có thể có nhiều con. Do vậy ta có thể dùng kỹ thuật quay lui để định trị cho các nút của cây trò chơi.

4. Ví dụ

Vận dụng quy tắc quay lui vét cạn để định trị cho nút A trong cây trò chơi trong ví dụ trên

Trước hết ta gán trị cho các nút lá, theo qui định trên thì nút lá B được gán giá trị 1, vì tại đó người đánh X đã thắng. Nút F được gán giá trị -1 vì tại đó người đánh X đã thua (người đánh O đã thắng). Nút I được gán giá trị 0 vì tại đó hai người hòa nhau. Tương tự nút J được gán giá trị 0 và nút K được gán giá trị 1.

Vì người đánh X được gán giá trị 1 tại nút lá mà anh ta đã thắng (giá trị lớn nhất) nên ta nói X chọn nước đi MAX, ngược lại người đánh O sẽ chọn nước đi MIN.

Để định trị cho nút A, ta thấy A là nút MAX và không phải là nút lá nên ta gán giá trị tạm là -¥, xét B là con của A, B là nút lá nên giá trị của nó là giá trị đã được gán 1, giá trị tạm của A bây giờ là max(-¥,1) = 1. Xét con C của A, C là nút MIN, giá trị tạm lúc đầu của C là ¥.  Xét con E của C, E là nút MAX, giá trị tạm của E là -¥. Xét con I của E, I là nút lá nên giá trị của nó là 0. Quay lui lại E, giá trị tạm của E bây giờ là max(-¥,0) = 0. Vì E chỉ có một con là I đã xét nên giá trị tạm 0 trở thành giá trị của E. Quay lui lại C, giá trị tạm mới của C là min(¥,0) = 0. Lại xét con F của C, vì F là nút lá, nên giá trị của F đã được gán là –1. Quay lui lại C, giá trị tạm mới của C là min(0,-1) = -1. Nút C có hai con là E và F, cả hai con này đều đã được xét, vậy giá trị tạm -1 của C trở thành giá trị của nó. Sau khi có giá trị của C, ta phải quay lại A và đặt lại giá trị tạm của A là max(1,-1) = 1. Tiếp tục xét nút D, D là nút MIN nên giá trị tạm là ¥, xét nút con G của D, G là nút MAX nên giá trị tạm của nó là -¥, xét nút con J của G. Vì J là nút lá nên có giá trị 0. Quay lui lại G, giá trị tạm của G bây giờ là max(-¥,0) = 0 và giá trị tạm này trở thành giá trị của G vì G chỉ có một con J đã xét. Quay lui về D, giá trị tạm của D bây giờ là min(¥,0) = 0. Lại xét con H của D, H là nút MAX nên gán giá trị tạm ban đầu là -¥. Xét con K của H, nút K là nút lá nên giá trị của K đã được gán là 1. Quay lui về H và đặt lại giá trị tạm của H là max(-¥,1) = 1. Giá trị tạm này chính là giá trị của H vì H chỉ có một con K đã được xét. Quay lui về D và đặt lại giá trị tạm của D là min(0, 1) = 0. Cả hai con G và H của D đều đã được xét nên giá trị tạm 0 của D trở thành giá trị của nó. Quay lui về A, giá trị tạm của nó là max(1,0) = 1vẫn không thay đổi, nhưng lúc này cả 3 con của A đều đã được xét nên giá trị tạm 1 trở thành giá trị của A.

Vậy giá trị của nút A là 1. Có nghĩa là A sẽ thắng.

5. Minh họa định trị cây trò chơi bằng giải thuật vét cạn

Trong hình trên, các nút lá có giá trị được gán ghi phía dưới mỗi nút. Đối với các nút trong, bên trái ghi các giá trị tạm theo thứ tự trên xuống, các giá trị thực được ghi bên phải hoặc phía trên bên phải.

6. Giải thuật vét cạn định trị cây trò chơi: giả thiết

Ðể cài đặt ta có một số giả thiết sau:

  • Ta có một hàm Payoff nhận vào một nút lá và cho ta giá trị của nút lá đó.
  • Các hằng ¥ và -¥ tương ứng là các trị Payoff lớn nhất và nhỏ nhất.
  • Khai báo kiểu ModeType = (MIN, MAX) để xác định định trị cho nút là MIN hay MAX.
  • Một kiểu NodeType được khai báo một cách thích hợp để biểu diễn cho một nút trên cây phản ánh một trạng thái của cuộc chơi.
  • Ta có một hàm is_leaf để xác định xem một nút có phải là nút lá hay không?
  • Hàm max và min tương ứng lấy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hai giá trị.
  • Hàm Search nhận vào một nút n và kiểu mode của nút đó (MIN hay MAX) trả về giá trị của nút.
  • Nếu nút n là nút lá thì trả về giá trị đã được gán cho nút lá. Ngược lại ta cho n một giá trị tạm value là -¥ hoặc ¥ tùy thuộc n là nút MAX hay MIN và xét con của n. Sau khi một con của n có giá trị V thì đặt lại value = max(value,V) nếu n là nút MAX và value = min(value,V) nếu n là nút MIN. Khi tất cả các con của n đã được xét thì giá trị tạm value của n trở thành giá trị của nó.

 7. Cài đặt bằng C/C++

float Search(NodeType n, ModeType mode) {

            NodeType C;  /*C là một nút con của nút n*/

            float value;

            /*Lúc đầu ta cho value một giá trị tạm,

            sau khi đã xét hết tất cả các con của nút n thì

            value là giá trị của nút n*/

            if (is_leaf(n))

                        return Payoff(n);

            /*Khởi tạo giá trị tạm cho n*/

            if (mode == MAX) value = -¥;

            else value = ¥;

            /*Xét tất cả các con của n,

            mỗi lần xác định được giá trị của một nút con,

            ta phải đặt lại giá trị tạm value.

            Khi đã xét hết tất cả các con thì value là giá trị của n*/

            for (với mỗi con C của n)

                        if (mode == MAX)

                                    value = max(value, Search(C, MIN));

                        else

                                    value = min(value, Search(C, MAX));

            return value;

}

8. Ðịnh trị cây trò chơi bằng kỹ thuật cắt tỉa alpha-beta

 

9. Cài đặt

Hàm cat_tia dưới đây trình bày giải thuật thô để định trị một nút, áp dụng kỹ thuật cắt tỉa alpha-beta

float cat_tia(NodeType Q, ModeType mode, float Vp) {

            NodeType C;  /*C là một nút con của nút Q*/

            float Vq;

            /*Vq là giá trị tạm của Q,

            sau khi tất cả các con của nút Q đã xét hoặc bị cắt tỉa thì Vq là giá trị của nút Q*/

            if (is_leaf(Q)) return Payoff(Q);

 

            /* Khởi tạo giá trị tạm cho Q */

            if (mode == MAX) Vq = -¥;

            else Vq = ¥;

            /*Xét các con của Q,

            mỗi lần xác định được giá trị của một nút con của Q,

            ta phải đặt lại giá trị tạm Vq và so sánh với Vp để có thể cắt tỉa hay không*/

            Xét C là con trái nhất của Q;

            while (C là con của Q) {

                        if (mode == MAX) {

                                    Vq = max(Vq, Cat_tia(C, MIN, Vq));

                                    if (Vp<=Vq)

                                                return Vq; /*cắt tỉa tất cả các con còn lại của Q*/

                        } else {

                                    Vq = min(Vq, Cat_tia(C, MAX, Vq));

                                    if (Vp >= Vq)

                                                return Vq;

                        }

            return Vq;

}